n का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(C) माना $z = \frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2} -

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$36$

Vedclass · Answer

(C) माना $z = \frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ और $\cos 	heta = \sin(\frac{\pi}{2} - 	heta)$ का उपयोग करने पर,$\frac{\pi}{2} - \frac{2 \pi}{9} = \frac{5 \pi}{18}$ प्राप्त होता है।अतः,$z = \frac{1+\cos \frac{5 \pi}{18}+i \sin \frac{5 \pi}{18}}{1+\cos \frac{5 \pi}{18}-i \sin \frac{5 \pi}{18}}$.अर्ध-कोण सूत्रों $1+\cos 	heta = 2 \cos^2 \frac{	heta}{2}$ और $\sin 	heta = 2 \sin \frac{	heta}{2} \cos \frac{	heta}{2}$ का उपयोग करने पर:$z = \frac{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} + i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}}{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} - i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}} = \frac{\cos \frac{5 \pi}{36} + i \sin \frac{5 \pi}{36}}{\cos \frac{5 \pi}{36} - i \sin \frac{5 \pi}{36}} = \frac{e^{i 5 \pi / 36}}{e^{-i 5 \pi / 36}} = e^{i 5 \pi / 18}$.चूंकि $z^n = 1$ दिया गया है,$(e^{i 5 \pi / 18})^n = e^{i 5 n \pi / 18} = 1$.इसका अर्थ है कि $\frac{5 n \pi}{18} = 2 k \pi$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।$n = \frac{36 k}{5}$.$n$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान प्राप्त करने के लिए,$k=5$ रखने पर,$n = 36$ प्राप्त होता है।

$n$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\left[\frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}\right]^n=1$ हो।

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