$|z|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો જ્યાં $z$ એ એક સંકર સંખ્યા છે જે અસમતા $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \log _{ e } 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $i=\sqrt{-1}$ છે.

$\frac{(\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)}{(\cot u + i)(1 + i\tan v)}$ નું $A + iB$ સ્વરૂપ શું છે?

ધારો કે $S$ એ તમામ $(\alpha, \beta)$ નો ગણ છે જ્યાં $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$,જેના માટે સંકર સંખ્યા $\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે અને $\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે. ધારો કે $Z_{\alpha \beta} = \sin 2\alpha + i \cos 2\beta$ જ્યાં $(\alpha, \beta) \in S$. તો $\sum_{(\alpha, \beta) \in S} \left(i Z_{\alpha \beta} + \frac{1}{i \bar{Z}_{\alpha \beta}}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $z_1$ અને $z_2$ કોઈપણ બે શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $3|z_1| = 4|z_2|$ થાય. જો $z = \frac{3z_1}{2z_2} + \frac{2z_2}{3z_1}$ હોય,તો:

બે સંખ્યાઓ $k_1$ અને $k_2$ ને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણમાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તો,$i^{k_1} + i^{k_2}$ (જ્યાં $i = \sqrt{-1}$) નું મૂલ્ય શૂન્ય ન હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?

જો ${z_1} = 1 + 2i$ અને ${z_2} = 3 + 5i$ હોય, તો $\operatorname{Re} \left( \frac{{\bar{z}_2}{z_1}}{{z_2}} \right)$ ની કિંમત શોધો.