x = k पर f(x) = [x]sin(pi x) का बायां अवकलज ज | vedclass

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Question

(A) $x = k$ पर बायां अवकलज $f'(k^-) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(k - h) - f(k)}{-h}$ द्वारा परिभाषित है।दिया गया है $f(x) = [x]\sin(\pi x)$,इसलिए $f(k)

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$(-1)^k(k - 1)\pi$

Vedclass · Answer

(A) $x = k$ पर बायां अवकलज $f'(k^-) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(k - h) - f(k)}{-h}$ द्वारा परिभाषित है।दिया गया है $f(x) = [x]\sin(\pi x)$,इसलिए $f(k) = [k]\sin(\pi k) = k 	imes 0 = 0$ है।छोटे $h > 0$ के लिए,$[k - h] = k - 1$ होता है।अतः,$f(k - h) = (k - 1)\sin(\pi(k - h)) = (k - 1)\sin(\pi k - \pi h) = (k - 1)(\sin(\pi k)\cos(\pi h) - \cos(\pi k)\sin(\pi h))$ है।चूंकि $\sin(\pi k) = 0$ और $\cos(\pi k) = (-1)^k$,हमें प्राप्त होता है $f(k - h) = (k - 1)(0 - (-1)^k \sin(\pi h)) = -(k - 1)(-1)^k \sin(\pi h) = (k - 1)(-1)^{k+1} \sin(\pi h)$।इस मान को सीमा में रखने पर: $f'(k^-) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(k - 1)(-1)^{k+1} \sin(\pi h) - 0}{-h}$।$\lim_{h 	o 0} \frac{\sin(\pi h)}{\pi h} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $f'(k^-) = (k - 1)(-1)^{k+1} 	imes (-\pi) = (k - 1)(-1)^{k+1} (-1) \pi = (k - 1)(-1)^{k+2} \pi = (k - 1)(-1)^k \pi$।

$x = k$ पर $f(x) = [x]\sin(\pi x)$ का बायां अवकलज ज्ञात कीजिए,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है और $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन $\le x$ को दर्शाता है।

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