વર્તુળ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ દ્વારા રેખા $4x+3y+1=0$ પર અંતઃખંડિત જીવાની લંબાઈ કેટલી છે?

ધારો કે $S$ એ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ $\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$ નો ગણ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે,$c$ અને $d$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે (એટલે કે $\operatorname{HCF}(a, b) = \operatorname{HCF}(c, d) = 1$),અને પૂર્ણાંકો $b$ અને $d$ બેકી સંખ્યા છે. તો,ગણ $S$:

$x$-અક્ષને સમાંતર અને વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ ને સ્પર્શતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ શોધો.

જો વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = px + qy$ (જ્યાં $pq \neq 0$) પરના બિંદુ $(p, q)$ માંથી દોરવામાં આવેલી બે ભિન્ન જીવાઓ $x$-અક્ષ દ્વારા દુભાગતી હોય,તો:

વર્તુળ $C_1$ ની ત્રિજ્યા એ બીજા વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા કરતા ત્રણ ગણી છે. $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો અનુક્રમે $(1, 2)$ અને $(3, -2)$ છે. જો તેઓ એકબીજાને લંબછેદી હોય,તો $r$ ત્રિજ્યા અને $(1, -2)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

જો બે વર્તુળોમાં,સમાન લંબાઈના ચાપ કેન્દ્ર આગળ $30^{\circ}$ અને $78^{\circ}$ ના ખૂણા આંતરે,તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શું થાય?