ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ ની જીવાની લંબાઈ શોધો,જેનું મધ્યબિંદુ $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ હોય.

ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ ધરાવતા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના ચલ બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ ઉપવલયના અક્ષોને $Q$ અને $R$ માં મળે છે. તો $QR$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એક શંકુ છે જેની ઉત્કેન્દ્રિયતા $e'$ છે,તો:

જો રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો અભિલંબ હોય,તો

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો $\frac{e^4}{1-e^2}=$ (અહીં $e$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે)

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.

એલિપ્સના સંગ્રહ $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ અને લંબચોરસના સંગ્રહ $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરો:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ માં અંતર્ગત સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબગોળ $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ.
તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $E_{18}$ અને $E_{19}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન નથી
$(2)$ $E_9$ માં કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $\frac{\sqrt{5}}{32}$ છે
$(3)$ $E_9$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{6}$ છે
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,દરેક ધન પૂર્ણાંક $N$ માટે