$x^2 = 4y$ પરવલયની જીવાની લંબાઈ શોધો જેનું સમીકરણ $x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{2} = 0$ છે.

પરવલય $y = x^2 + px + q$ એ સીધી રેખા $y = 2x - 3$ ને $1$ અભિસંદર્ભ (abscissa) ધરાવતા બિંદુએ છેદે છે. જો પરવલયના શિરોબિંદુ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનું અંતર ન્યૂનતમ હોય,તો:

ધારો કે $O$ એ પરવલય $x^{2}=4y$ નું શિરોબિંદુ છે અને $Q$ તેના પરનું કોઈ બિંદુ છે. ધારો કે બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ, જે રેખાખંડ $OQ$ નું $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે, તે શંકુ $C$ છે. તો $C$ ની જીવા જેનું બિંદુ $(1, 2)$ આગળ દુભાગે છે તેનું સમીકરણ શોધો:

ધારો કે $A(0,1)$,$B(1,1)$,અને $C(1,0)$ એ ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે,જેનું અંતઃકેન્દ્ર $D$ છે. જો $D$ માંથી પસાર થતા પરવલય $y^2 = 4ax$ નું નાભિ $(\alpha + \beta \sqrt{2}, 0)$ હોય,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ સંમેય સંખ્યાઓ છે,તો $\frac{\alpha}{\beta^2}$ ની કિંમત શોધો.

ત્રણ બિંદુઓ $O(0,0)$,$P(a, a^2)$,અને $Q(-b, b^2)$ જ્યાં $a > 0$ અને $b > 0$ એ પરવલય $y = x^2$ પર આવેલા છે. ધારો કે $S_1$ એ રેખા $PQ$ અને પરવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $S_2$ એ ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ છે. જો $\frac{S_1}{S_2}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n) = 1$,તો $m + n$ ની કિંમત શોધો:

પરવલય $y^2+4y+4x+2=0$ ની નિયામિકાનું સમીકરણ શું છે?