एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई 6 इकाई है औ | vedclass

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Question

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है। नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 6$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 3a$। नाभ

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$25 e^2-40 e+16=0$

Vedclass · Answer

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है। नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 6$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 3a$। नाभि $(ae, 0)$ और निकटतम शीर्ष $(a, 0)$ के बीच की दूरी $a - ae = a(1 - e) = \frac{5}{3}$ है। हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$। $b^2 = 3a$ प्रतिस्थापित करने पर,$3a = a^2(1 - e^2)$,अतः $3 = a(1 - e^2) = a(1 - e)(1 + e)$। चूँकि $a(1 - e) = \frac{5}{3}$,इसलिए $3 = \frac{5}{3}(1 + e)$। इससे $1 + e = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है,अतः $e = \frac{4}{5}$। अब,हम जाँचते हैं कि $e = \frac{4}{5}$ किस समीकरण को संतुष्ट करता है। विकल्प $A$ के लिए: $25(\frac{4}{5})^2 - 40(\frac{4}{5}) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0$। अतः,$e$ समीकरण $25e^2 - 40e + 16 = 0$ को संतुष्ट करता है।

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