ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{8}{3}$ છે. જો ઉપવલયના કેન્દ્રથી તેના નાભિનું અંતર $\sqrt{5}$ હોય,તો $\sqrt{a^2 + 6ab + b^2} =$

જો ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ પરના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ રેખા $2x + y = 4$ ને સમાંતર હોય અને $P$ આગળનો સ્પર્શક $Q(4, 4)$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $PQ$ ની કિંમત શોધો.

બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો,જે દરેક વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ બંનેને સ્પર્શે છે. ધારો કે આ રેખાઓ બિંદુ $Q$ પર છેદે છે. તે ઉપવલયને ધ્યાનમાં લો જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને જેની અર્ધ-મુખ્ય ધરી $OQ$ છે. જો આ ઉપવલયની ગૌણ ધરીની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $1$ છે.
$(B)$ ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{2}$ છે અને લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{2}$ છે.
$(C)$ રેખાઓ $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = 1$ વચ્ચે ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ છે.
$(D)$ રેખાઓ $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $x = 1$ વચ્ચે ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,જેના શિરોબિંદુઓ $A$ અને $A'$ છે,પ્રથમ ચરણમાં આવેલા બિંદુ $P$ પર દોરેલો સ્પર્શક $y$-અક્ષને $Q$ માં મળે છે અને જીવા $A'P$ એ $y$-અક્ષને $M$ માં મળે છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય,તો $OQ^2 - MQ^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b)$ ની નાભિલંબની લંબાઈ $30$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા વિધેય $f(t)=-\frac{3}{4}+2t-t^{2}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય હોય, તો $(a^{2}+b^{2})$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 288$ ને સ્પર્શતી રેખા જે યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. તો $\text{Area}(\triangle OAB) = $ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે)