ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 288$ ને સ્પર્શતી રેખા જે યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. તો $\text{Area}(\triangle OAB) = $ (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે)

ધારો કે $A$ એ ઉપવલય $S \equiv \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-1=0$ નું શિરોબિંદુ છે અને $F$ એ ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=0$ ની નાભિ છે. ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $S^{\prime}=0$ ની મુખ્ય અક્ષ પરનું બિંદુ છે,જે $\overline{OF}$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે ($O$ એ ઉગમબિંદુ છે). જો ઉપવલય $S=0$ ની $A$ અને $P$ માંથી પસાર થતી જીવાની લંબાઈ $\frac{3\sqrt{101}}{k}$ હોય,તો $k=$

એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $(ae, 0)$ અને $(-ae, 0)$ થી તેના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $2a$ રહે છે. તો તેના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $(1, 3)$ માંથી ઉપવલય $2x^{2} + 3y^{2} = 5$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ કેટલો છે?

ઉપવલય $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ ના એવા સ્પર્શકોના સમીકરણો શોધો જે રેખા $y + 2x = 4$ ને લંબ હોય.

ઉપવલય $16x^{2} + 9y^{2} = 144$ ના નાભિના યામ શોધો.