एक कोएक्सियल सिस्टम के तीन वृत्तों पर एक निश्चित बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई $t_1, t_2, t_3$ है। यदि $P, Q$ और $R$ इन वृत्तों के केंद्र हैं,तो $QRt_1^2 + RPt_2^2 + PQt_3^2$ का मान क्या होगा?

तीन वृत्तों के समीकरण $x^2 + y^2 - 12x - 16y + 64 = 0$,$3x^2 + 3y^2 - 36x + 81 = 0$ और $x^2 + y^2 - 16x + 81 = 0$ हैं। उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ से तीनों वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है।

$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 4 = 0$ और $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ युक्त वृत्तों की समाक्षीय प्रणाली (coaxial system) का एक सीमा बिंदु (limit point) है:

यदि $P(\alpha, \beta)$ वृत्तों $S \equiv x^2+y^2+4x+7=0$,$S^{\prime} \equiv 2x^2+2y^2+3x+5y+9=0$ और $S^{\prime \prime} \equiv x^2+y^2+y=0$ का रेडिकल केंद्र है,तो $P$ से $S^{\prime}=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है

$P, Q$ और $R$ तीन सह-अक्षीय वृत्तों के केंद्र हैं और $r_1, r_2, r_3$ क्रमशः उनकी त्रिज्याएँ हैं। तो $QRr_1^2 + RP r_2^2 + PQ r_3^2$ किसके बराबर है?

माना $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्र वाला $1$ त्रिज्या का वृत्त है। माना $C_2$ बिंदु $A=(4,1)$ पर केंद्र वाला $r$ त्रिज्या का वृत्त है,जहाँ $1 < r < 3$ है। $C_1$ और $C_2$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $ST$ खींची गई हैं। स्पर्श रेखा $PQ$,$C_1$ को $P$ पर और $C_2$ को $Q$ पर स्पर्श करती है। स्पर्श रेखा $ST$,$C_1$ को $S$ पर और $C_2$ को $T$ पर स्पर्श करती है। रेखाखंड $PQ$ और $ST$ के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B$ पर मिलती है। यदि $AB=\sqrt{5}$ है,तो $r^2$ का मान ज्ञात कीजिए।