રેખા 2x + y = 1 એ અતિવલય frac{x^2}{a^2} - fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) રેખા $2x + y = 1$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક છે. નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e}$ છે. રેખા $(\frac{a}{e}, 0)$

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) રેખા $2x + y = 1$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક છે. નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e}$ છે. રેખા $(\frac{a}{e}, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $2(\frac{a}{e}) + 0 = 1$,જે $2a = e$ આપે છે. રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલયનો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે. અહીં,$y = -2x + 1$,તેથી $m = -2$ અને $c = 1$. આમ,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,જે $4a^2 - b^2 = 1$ માં પરિણમે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$. સ્પર્શકની શરતમાં $b^2$ મૂકતા: $4a^2 - a^2(e^2 - 1) = 1$. $e = 2a$ હોવાથી,$a = \frac{e}{2}$,તેથી $a^2 = \frac{e^2}{4}$. $a^2$ ની કિંમત મૂકતા: $4(\frac{e^2}{4}) - \frac{e^2}{4}(e^2 - 1) = 1$. $e^2 - \frac{e^4}{4} + \frac{e^2}{4} = 1$. $4$ વડે ગુણતા: $4e^2 - e^4 + e^2 = 4$. $e^4 - 5e^2 + 4 = 0$. $(e^2 - 4)(e^2 - 1) = 0$. અતિવલય માટે $e > 1$ હોવાથી,$e^2 = 4$,તેથી $e = 2$.

Similar Questions

અતિવલય $5x^2 - 4y^2 + 20x + 8y = 4$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

જો $y=x+\sqrt{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$ નો સ્પર્શક હોય,તો તેની નિયામિકાઓના સમીકરણો શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module