अतिपरवलय $xy = c^2$ के केंद्र से एक चर स्पर्श रेखा पर खींचे गए लंब के पाद का बिंदुपथ है:

मान लीजिए $F_1(-1, 0)$ और $F_2(1, 0)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ हैं। मान लीजिए कि एक परवलय जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और नाभि $F_2$ पर है,दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश में बिंदु $N$ पर काटता है।
$(1)$ त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेंद्र है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ यदि $M$ और $N$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ $R$ पर मिलती हैं और $M$ पर परवलय का अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है,तो त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

उन कथनों की पहचान करें जो सत्य हैं।

मान लीजिए कि $T_1$ और $T_2$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ और परवलय $P: y^2=12x$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मान लीजिए कि स्पर्श रेखा $T_1$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_1$ और $A_2$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2$,$P$ और $E$ को क्रमशः $A_4$ और $A_3$ बिंदुओं पर स्पर्श करती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है।
$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।
$(C)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-3,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।
$(D)$ स्पर्श रेखाएँ $T_1$ और $T_2$,$x$-अक्ष पर $(-6,0)$ बिंदु पर मिलती हैं।

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केन्द्रता,अतिपरवलय $2x^2 - 2y^2 = 1$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम है। यदि दीर्घवृत्त अतिपरवलय को समकोण पर काटता है,तो दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का वर्ग $................$ है।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b>a)$ और परवलय $y^2=4ax$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $e$ दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है,तो $2e^2=$