दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b>a)$ और परवलय $y^2=4ax$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $e$ दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है,तो $2e^2=$

वृत्त $x^2+y^2=2$ और परवलय $y^2=8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ वृत्त को $P, Q$ बिंदुओं पर और परवलय को $R, S$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। तो चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ के शीर्षों से होकर गुजरता है। दीर्घवृत्त $E$ के दीर्घ और लघु अक्ष,अतिपरवलय $H$ के अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों के साथ संपाती हैं। यदि $E$ और $H$ की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है,और $l$ दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है,तो $113l$ का मान $....$ है।

$20$ इकाई लंबाई की एक छड़ अपने सिरों के साथ समकोण पर स्थित दो निश्चित सीधी रेखाओं पर चलती है। छड़ पर एक सिरे से $8$ इकाई की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ द्वारा बनाए गए शांकव की उत्केंद्रता क्या है?

यदि $PQ$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक द्वि-कोटि (double ordinate) इस प्रकार है कि $\triangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ किस शर्त को संतुष्ट करती है?

यदि वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2} = 1$ एक-दूसरे को लंबकोणीय काटते हैं,तो :-