यदि वक्र frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 | vedclass

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Question

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\f

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$a^2 + b^2 = l^2 - m^2$

Vedclass · Answer

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{xb^2}{ya^2}$.अतिपरवलय $\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2} = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{2x}{l^2} - \frac{2y}{m^2} \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{xm^2}{yl^2}$.चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा:$(-\frac{xb^2}{ya^2}) 	imes (\frac{xm^2}{yl^2}) = -1 \Rightarrow \frac{x^2}{y^2} = \frac{a^2 l^2}{b^2 m^2}$.दोनों वक्र समीकरणों को घटाने पर: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - (\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2}) = 0$.$x^2(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{l^2}) + y^2(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{m^2}) = 0 \Rightarrow \frac{x^2}{y^2} = \frac{(m^2 + b^2)a^2 l^2}{b^2 m^2 (l^2 - a^2)}$.$\frac{x^2}{y^2}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:$\frac{a^2 l^2}{b^2 m^2} = \frac{(m^2 + b^2)a^2 l^2}{b^2 m^2 (l^2 - a^2)} \Rightarrow 1 = \frac{m^2 + b^2}{l^2 - a^2}$.अतः,$l^2 - a^2 = m^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = l^2 - m^2$.

यदि वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{l^2} - \frac{y^2}{m^2} = 1$ एक-दूसरे को लंबकोणीय काटते हैं,तो :-

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