एक गोलाकार आकाशगंगा का द्रव्यमान घनत्व उसके क | vedclass

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Question

(C) $R$ त्रिज्या के भीतर आकाशगंगा का द्रव्यमान घनत्व $\rho(r) = \frac{K}{r}$ को आयतन पर समाकलित करके प्राप्त किया जाता है।$dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2

Vedclass · Accepted Answer

$T^2 \propto R$

Vedclass · Answer

(C) $R$ त्रिज्या के भीतर आकाशगंगा का द्रव्यमान घनत्व $\rho(r) = \frac{K}{r}$ को आयतन पर समाकलित करके प्राप्त किया जाता है।$dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr = \left(\frac{K}{r}\right) \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi K r dr$$M(R) = \int_{0}^{R} 4\pi K r dr = 4\pi K \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} = 2\pi K R^2$$R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान वाले तारे के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:$\frac{G M(R) m}{R^2} = \frac{m v^2}{R}$$M(R) = 2\pi K R^2$ प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{G (2\pi K R^2) m}{R^2} = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow 2\pi G K m = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow v^2 = 2\pi G K R$$v = \sqrt{2\pi G K R}$परिक्रमण काल $T = \frac{2\pi R}{v}$ द्वारा दिया जाता है।$T = \frac{2\pi R}{\sqrt{2\pi G K R}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 R^2}{2\pi G K R}} = \sqrt{\frac{2\pi R}{G K}} \propto \sqrt{R}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 \propto R$ प्राप्त होता है।

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