उद्देश्य फलन $z=4x+5y$ का अधिकतम मान,अवरोधों $2x+3y \leq 12$,$2x+y \leq 8$ और $x \geq 0, y \geq 0$ के अंतर्गत ज्ञात कीजिए:

$L.P.P.$ में,$x + y \leq 5, x + 2y \geq 4, 4x + y \leq 12, x, y \geq 0$ अवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का अधिकतम मान क्या है?

$x + y \geq 5$,$0 \leq x \leq 4$,$y \geq 2$ के अधीन $Z = 5x + 8y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:

एक फैक्ट्री दो प्रकार के स्क्रू, $A$ और $B$ बनाती है। प्रत्येक प्रकार के स्क्रू के लिए दो मशीनों का उपयोग आवश्यक है, एक स्वचालित और एक हाथ से चलने वाली। स्क्रू $A$ का एक पैकेट बनाने में स्वचालित मशीन पर $4 \, \text{मिनट}$ और हाथ से चलने वाली मशीन पर $6 \, \text{मिनट}$ लगते हैं, जबकि स्क्रू $B$ का एक पैकेट बनाने में स्वचालित मशीन पर $6 \, \text{मिनट}$ और हाथ से चलने वाली मशीन पर $3 \, \text{मिनट}$ लगते हैं। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन अधिकतम $4 \, \text{घंटे}$ के लिए उपलब्ध है। निर्माता स्क्रू $A$ के एक पैकेट पर $Rs. \, 7$ और स्क्रू $B$ के पैकेट पर $Rs. \, 10$ का लाभ कमा सकता है। यह मानते हुए कि वह अपने द्वारा बनाए गए सभी स्क्रू बेच सकता है, फैक्ट्री मालिक को अपना लाभ अधिकतम करने के लिए एक दिन में प्रत्येक प्रकार के कितने पैकेट बनाने चाहिए? अधिकतम लाभ निर्धारित करें।

एक फैक्ट्री टेनिस रैकेट और क्रिकेट बैट बनाती है। एक टेनिस रैकेट बनाने में $1.5\, \text{घंटे}$ मशीन का समय और $3\, \text{घंटे}$ कारीगर का समय लगता है, जबकि एक क्रिकेट बैट बनाने में $3\, \text{घंटे}$ मशीन का समय और $1\, \text{घंटा}$ कारीगर का समय लगता है। एक दिन में, फैक्ट्री के पास $42\, \text{घंटे}$ से अधिक मशीन का समय और $24\, \text{घंटे}$ से अधिक कारीगर का समय उपलब्ध नहीं है। यदि फैक्ट्री अपनी पूर्ण क्षमता पर काम करती है, तो कितने रैकेट और बैट बनाए जाने चाहिए?

उद्देश्य फलन $Z = 3x + 5y$ का अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए, जो प्रतिबंधों $x + 3y \leq 60$, $x + y \geq 10$, $x - y \leq 0$ और $x, y \geq 0$ के अधीन है।