$Z = 3x + y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए, जबकि व्यवरोध $2x + 3y \leq 6$, $x + y \geq 1$, $x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं:

एक आहार विशेषज्ञ दो प्रकार के भोजन $X$ और $Y$ को इस तरह मिलाना चाहता है कि मिश्रण में कम से कम $10$ इकाई विटामिन $A$,$12$ इकाई विटामिन $B$ और $8$ इकाई विटामिन $C$ हो। एक $kg$ भोजन में विटामिन की मात्रा नीचे दी गई है:

भोजन	विटामिन $A$	विटामिन $B$	विटामिन $C$
$X$	$1$	$2$	$3$
$Y$	$2$	$2$	$1$

एक $kg$ भोजन $X$ की कीमत $Rs. 16$ है और एक $kg$ भोजन $Y$ की कीमत $Rs. 20$ है। आवश्यक आहार प्राप्त करने के लिए मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।

एक निर्माण कंपनी दो वस्तुएं,$A$ और $B$ बनाती है। प्रत्येक वस्तु को दो मशीनों,$I$ और $II$ द्वारा संसाधित किया जाना चाहिए। मशीन $I$ को अधिकतम $10$ घंटे $40$ मिनट ($640$ मिनट) के लिए संचालित किया जा सकता है। वस्तु $A$ के लिए $20$ मिनट और वस्तु $B$ के लिए $15$ मिनट लगते हैं। मशीन $II$ को अधिकतम $8$ घंटे $20$ मिनट ($500$ मिनट) के लिए संचालित किया जा सकता है। वस्तु $A$ के लिए $5$ मिनट और वस्तु $B$ के लिए $8$ मिनट लगते हैं। वस्तु $A$ का प्रति इकाई लाभ ₹ $25$ है और वस्तु $B$ का प्रति इकाई लाभ ₹ $18$ है। लाभ को अधिकतम करने के लिए $L.P.P.$ का सूत्रीकरण (जहाँ $x$ वस्तु $A$ की संख्या है और $y$ वस्तु $B$ की संख्या है) . . . . . . है।

$0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ और $x + y \geq 5$ के प्रतिबंधों के अधीन $z = 10x + 25y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:

असमिकाओं $x+y \leq 3$,$2x+5y \geq 10$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु सुसंगत क्षेत्र (feasible region) में स्थित है?

$3x + 5y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$ अवरोधों के अंतर्गत $z = 5x + 3y$ का अधिकतम मान क्या है?