किसी फलन के अधिकतम या न्यूनतम होने के लिए आवश | vedclass

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Question

(C) किसी फलन $f(x)$ के लिए बिंदु $x = c$ पर स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान होने के लिए,प्रथम अवकलज $f'(c) = 0$ होना आवश्यक है। इसे प्रथम कोटि की आवश्यक

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$f'(x) = 0$ लेकिन यह पर्याप्त नहीं है

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(C) किसी फलन $f(x)$ के लिए बिंदु $x = c$ पर स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान होने के लिए,प्रथम अवकलज $f'(c) = 0$ होना आवश्यक है। इसे प्रथम कोटि की आवश्यक शर्त कहा जाता है। हालाँकि,केवल $f'(x) = 0$ होना अधिकतम या न्यूनतम मान की गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है,क्योंकि यह नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflection) भी हो सकता है। चरम बिंदु की प्रकृति की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं: यदि $f''(c) यदि $f''(c) > 0$ है,तो फलन का $x = c$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है। इसलिए,$f'(x) = 0$ एक आवश्यक शर्त है लेकिन यह पर्याप्त नहीं है।

किसी फलन के अधिकतम या न्यूनतम होने के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

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यदि $f(x) = 1 + 2x^2 + 2^2 x^4 + \dots + 2^{10} x^{20}$ है,तो $f(x)$ के पास:

सभी वास्तविक $x$ के लिए,फलन $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ का न्यूनतम मान है

फलन $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x + 3$ जो $[-1, 3]$ पर परिभाषित है, का

यदि $f(x) = x^4 + \lambda x^3 + x^2$ $(\lambda \in R)$ का $x = \frac{1}{2}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) है,तो $f(x)$ का निरपेक्ष निम्निष्ठ (absolute minimum) मान है:

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