अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ के बिंदु $(8, 3\sqrt{3})$ पर अभिलंब किस बिंदु से होकर गुजरता है?

मान लीजिए $LL^{\prime}$ एक अतिपरवलय की नाभि $S$ से गुजरने वाला नाभिलंब है और $A^{\prime}$ अतिपरवलय का विपरीत शीर्ष है। यदि त्रिभुज $A^{\prime}LL^{\prime}$ समबाहु है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

$x \cos \phi + y \sin \phi = P$ रूप की रेखाएँ अतिपरवलय $4x^2 - y^2 = 4a^2$ की जीवाएँ हैं जो अतिपरवलय के केंद्र पर समकोण बनाती हैं। यदि ये जीवाएँ $(0,0)$ केंद्र वाले एक वृत्त को स्पर्श करती हैं,तो उस वृत्त की त्रिज्या क्या है?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रता $\sqrt{\frac{5}{2}}$ है और इसके नाभिलंब की लंबाई $6\sqrt{2}$ है। यदि $y = 2x + c$ अतिपरवलय $H$ की एक स्पर्शरेखा है,तो $c^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(\alpha, -1)$ वक्र $4x^2 - 3y^2 = 1$ का एक आंतरिक बिंदु है,तो $\alpha$ किस अंतराल में स्थित है?

यदि $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ पर एक बिंदु है,तो $SP \cdot S'P = \_\_\_\_$