x cos phi + y sin phi = P रूप की रेखाएँ अतिपर | vedclass

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Question

(A) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - y^2 = 4a^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि जीवा $x \cos \phi + y \si

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$\frac{2a}{\sqrt{3}}$

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(A) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - y^2 = 4a^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि जीवा $x \cos \phi + y \sin \phi = P$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए रेखा के समीकरण का उपयोग करके अतिपरवलय के समीकरण को समघात बनाने पर: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = \left(\frac{x \cos \phi + y \sin \phi}{P}\right)^2$.इसका विस्तार करने पर,$x^2 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - y^2 \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) - \frac{2xy \cos \phi \sin \phi}{P^2} = 0$ प्राप्त होता है।जीवा द्वारा मूल बिंदु पर समकोण बनाने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) = 0$.$\frac{3}{4a^2} - \frac{1}{P^2} = 0$ $\Rightarrow P^2 = \frac{4a^2}{3}$ $\Rightarrow P = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.$P$ मूल बिंदु से जीवा पर लंब की लंबाई है,जो वृत्त की त्रिज्या को दर्शाती है। अतः,त्रिज्या $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ है।

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