સમીકરણ $4 \int_0^{3/2} f(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{f(x)+x^2}} = 108$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f : [0, \frac{3}{2}] \rightarrow (0, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $m \in Z^{+}$,$n=2m$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ હોય,તો $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

આપેલ છે કે દરેક $a \in (0,1)$ માટે,લક્ષ $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. વધુમાં,આપેલ છે કે વિધેય $g(a)$ એ $(0,1)$ પર વિકલનીય છે.
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત છે
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત છે
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ અને $2$ માટે સાચી જોડ પસંદ કરો.

$\alpha$ ની કિંમતો જે $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $\alpha \in [0, 2\pi]$,તે નીચે મુજબ છે:

ધારો કે $F: R \rightarrow R$ એ ત્રણ વાર વિકલનીય વિધેય છે. ધારો કે $F(1)=0, F(3)=-4$ અને તમામ $x \in (1/2, 3)$ માટે $F^{\prime}(x) < 0$ છે. ધારો કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x)=x F(x)$ છે.
$1.$ સાચું વિધાન(નો) છે:
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{કોઈપણ }x \in (1,3) \text{માટે }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ અમુક $x \in (1, 3)$ માટે $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ જો $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ અને $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ હોય,તો સાચું પદ(દો) છે:
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

જો $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ હોય,તો $n \in N$ ની કિંમત $\dots\dots$ છે.