समुच्चय S = {(r, k) : k in Z text{ और } ^{36} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.गुणधर्म $^{n}C_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर, $^{36}C_{r+1} =

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$4$

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(B) दिया गया समीकरण: $^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.गुणधर्म $^{n}C_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर, $^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r$ प्राप्त होता है।इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_r = \frac{6(^{35}C_r)}{k^2-3}$.यदि $^{35}C_r 
eq 0$ है, तो $\frac{36}{r+1} = \frac{6}{k^2-3}$, जो सरल होकर $\frac{6}{r+1} = \frac{1}{k^2-3}$ हो जाता है।अतः, $k^2-3 = \frac{r+1}{6}$, या $k^2 = \frac{r+1}{6} + 3$.चूंकि $k \in Z$, $k^2$ एक पूर्ण वर्ग पूर्णांक होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $(r+1)$, $6$ का गुणज होना चाहिए।$0 \leq r \leq 35$ दिया गया है, इसलिए $1 \leq r+1 \leq 36$ होगा।$r+1$ के लिए संभावित मान $6, 12, 18, 24, 30, 36$ हैं।$r+1 = 6$ के लिए, $k^2 = 1+3 = 4 \implies k = \pm 2$. युग्म: $(5, 2), (5, -2)$.$r+1 = 12$ के लिए, $k^2 = 2+3 = 5$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।$r+1 = 18$ के लिए, $k^2 = 3+3 = 6$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।$r+1 = 24$ के लिए, $k^2 = 4+3 = 7$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।$r+1 = 30$ के लिए, $k^2 = 5+3 = 8$ (पूर्ण वर्ग नहीं)।$r+1 = 36$ के लिए, $k^2 = 6+3 = 9 \implies k = \pm 3$. युग्म: $(35, 3), (35, -3)$.कुल युग्म $(r, k)$ $(5, 2), (5, -2), (35, 3), (35, -3)$ हैं।इस प्रकार, कुल $4$ अवयव हैं।

समुच्चय $S = \{(r, k) : k \in Z \text{ और } ^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{(k^2-3)}\}$ में अवयवों की संख्या है:

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किन्हीं $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य होता है?

$_n{P_r} \div \binom{n}{r} = ..........$

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3 = $

$^nC_r + ^{n-1}C_r + ...... + ^rC_r =$

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