જે પૂર્ણાંક k માટે સમીકરણ x^3-27x+k=0 ને ઓછામ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $f(x) = x^3 - 27x + k = 0$. ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. $x^2$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = 0$

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $f(x) = x^3 - 27x + k = 0$. ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. $x^2$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = 0$ થાય. જો બે બીજ ભિન્ન પૂર્ણાંકો હોય,તો ત્રીજું બીજ પણ પૂર્ણાંક જ હોય.ધારો કે બીજ $x_1, x_2, x_3$ છે. તો $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ અને $x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -27$. $x_3 = -(x_1 + x_2)$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x_1 x_2 - (x_1 + x_2)^2 = -27$,જેનું સાદું રૂપ $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = 27$ થાય.આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે. આપણે પૂર્ણાંક ઉકેલો $(x_1, x_2)$ શોધીએ.જો $x_1 = 3$ હોય,તો $x_2^2 + 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2+6)(x_2-3) = 0$. તેથી $x_2 = 3$ અથવા $x_2 = -6$. આ કિસ્સામાં $k = 54$.જો $x_1 = -3$ હોય,તો $x_2^2 - 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2-6)(x_2+3) = 0$. તેથી $x_2 = 6$ અથવા $x_2 = -3$. આ કિસ્સામાં $k = -54$.આમ,$k$ ના $2$ શક્ય મૂલ્યો મળે છે.

જે પૂર્ણાંક $k$ માટે સમીકરણ $x^3-27x+k=0$ ને ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન પૂર્ણાંક બીજ હોય,તેવા $k$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

શરત કે $x^3 - p x^2 + q x - r = 0$ ના બે બીજ એકબીજાને સમાન પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તે છે

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ ના બે ભિન્ન બીજ છે. જે સમીકરણનું બીજ $(\alpha \beta)$ હોય તે સમીકરણ શોધો.

જો સમીકરણ $12x^2 - mx + 5 = 0$ ના બીજોનો ગુણોત્તર $2 : 3$ હોય,તો $m = .....$

જો $\frac{x-4}{x^2-5x-2k} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+k}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $a x^2+b x+c=0$ ના બીજ હોય અને જો $p x^2+q x+r=0$ ના બીજ $\frac{1-\alpha}{\alpha}$ અને $\frac{1-\beta}{\beta}$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module