यदि समीकरण 2x^2 + 4xy - py^2 + 4x + qy + 1 = | vedclass

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Question

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रेखाओं का युग्म होने के लिए,सारणिक शून्य होना चाहिए: $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 =

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$3$

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(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रेखाओं का युग्म होने के लिए,सारणिक शून्य होना चाहिए: $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$. समीकरण की तुलना करने पर $a=2, h=2, b=-p, g=2, f=q/2, c=1$ प्राप्त होता है। मान रखने पर: $2(-p)(1) + 2(q/2)(2)(2) - 2(q/2)^2 - (-p)(2)^2 - 1(2)^2 = 0$. $-2p + 4q - q^2/2 + 4p - 4 = 0$. $-2$ से गुणा करने पर: $q^2 - 8q - 4p + 8 = 0$. $q$ के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए: $D = (-8)^2 - 4(1)(8 - 4p) = 32 + 16p = 16(2 + p)$. $2 + p$ एक पूर्ण वर्ग $k^2$ होना चाहिए। $p \in [-5, 5]$ के लिए,$2 + p$ का मान $-3$ से $7$ के बीच है। इस सीमा में पूर्ण वर्ग $0, 1, 4$ हैं। $2 + p = 0 \Rightarrow p = -2$. $2 + p = 1 \Rightarrow p = -1$. $2 + p = 4 \Rightarrow p = 2$. अतः,$p$ के संभावित पूर्णांक मान $\{-2, -1, 2\}$ हैं। कुल संख्या $3$ है।

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