$0, 1, 2, 5, 9$ अंकों का उपयोग करके $5000$ से बड़ी और $9000$ से छोटी ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो $3$ से विभाज्य हों, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?

मान लीजिए $x$ एक थैले से कम से कम एक गेंद चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिसमें $3$ समान लाल गेंदें,$4$ समान नीली गेंदें और $5$ समान हरी गेंदें हैं। मान लीजिए $y$ उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिनसे एक छात्र परीक्षा में अनुत्तीर्ण (fail) हो सकता है,जब उसे $5$ अलग-अलग विषयों में परीक्षा देनी हो। तो $x+y=$

समीकरण $xyz = 24$ के कुल पूर्णांक हलों की संख्या है

$37! = 2^{\alpha_2} \cdot 3^{\alpha_3} \cdot 5^{\alpha_5} \cdots 37^{\alpha_{37}}$ के अभाज्य गुणनखंडन में,अनुपात $\alpha_3 : \alpha_5$ है:

$1, 2$ और $3$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात अंकों की ऐसी पूर्णांक संख्याओं की संख्या क्या है जिनके अंकों का योग $10$ है?

मान लीजिए $a, b, c \in \mathbb{N}$ और $a+b+c=5$ है। मान लीजिए $L$ और $M$ क्रमशः $2^a 3^b 5^c$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं। तो $M-L=$