2^x + 3^y = 5^{xy} નું સમાધાન કરતી ધન પૂર્ણાં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $2^x + 3^y = 5^{xy}$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}^+$.જો $x = 1$ અને $y = 1$ હોય,તો $2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$ અને $5^{1 	imes 1} = 5^1

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $2^x + 3^y = 5^{xy}$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}^+$.જો $x = 1$ અને $y = 1$ હોય,તો $2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$ અને $5^{1 	imes 1} = 5^1 = 5$ થાય. આમ,$(1, 1)$ એક ઉકેલ છે.જો $x > 1$ અથવા $y > 1$ હોય,તો સમીકરણને $5^{xy}$ વડે ભાગતા $\frac{2^x}{5^{xy}} + \frac{3^y}{5^{xy}} = 1$ મળે.આને $\left(\frac{2}{5^y}ight)^x + \left(\frac{3}{5^x}ight)^y = 1$ તરીકે લખી શકાય.$x, y \ge 1$ માટે,પદો $\frac{2^x}{5^{xy}}$ અને $\frac{3^y}{5^{xy}}$ ઝડપથી ઘટે છે.ખાસ કરીને,$x, y \ge 1$ માટે,$(1, 1)$ સિવાયની તમામ જોડીઓ માટે $2^x + 3^y તેથી,સમીકરણનું સમાધાન કરતી એકમાત્ર ક્રમિત જોડી $(1, 1)$ છે.

$2^x + 3^y = 5^{xy}$ નું સમાધાન કરતી ધન પૂર્ણાંકોની ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી રીતે હોય કે $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2=1$,તો $(3a+5b-8c)^2+(-8a+3b+5c)^2+(5a-8b+3c)^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ હોય, તો $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો પદાવલિ $\frac{x^2+4x+1}{x^2+x+1}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $x$ અને $y$ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $x+y=1$ થાય. તો,$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

જો દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (\sin \theta + \cos \theta)x + \frac{3}{8} = 0$ ના બંને બીજ ધન અને ભિન્ન હોય,તો $[0, 2\pi]$ માં $\theta$ ના મૂલ્યોનો સંપૂર્ણ ગણ કયો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module