2^x + 3^y = 5^{xy} નું સમાધાન કરતી ધન પૂર્ણાં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $2^x + 3^y = 5^{xy}$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}^+$.જો $x = 1$ અને $y = 1$ હોય,તો $2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$ અને $5^{1 	imes 1} = 5^1

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $2^x + 3^y = 5^{xy}$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}^+$.જો $x = 1$ અને $y = 1$ હોય,તો $2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$ અને $5^{1 	imes 1} = 5^1 = 5$ થાય. આમ,$(1, 1)$ એક ઉકેલ છે.જો $x > 1$ અથવા $y > 1$ હોય,તો સમીકરણને $5^{xy}$ વડે ભાગતા $\frac{2^x}{5^{xy}} + \frac{3^y}{5^{xy}} = 1$ મળે.આને $\left(\frac{2}{5^y}ight)^x + \left(\frac{3}{5^x}ight)^y = 1$ તરીકે લખી શકાય.$x, y \ge 1$ માટે,પદો $\frac{2^x}{5^{xy}}$ અને $\frac{3^y}{5^{xy}}$ ઝડપથી ઘટે છે.ખાસ કરીને,$x, y \ge 1$ માટે,$(1, 1)$ સિવાયની તમામ જોડીઓ માટે $2^x + 3^y તેથી,સમીકરણનું સમાધાન કરતી એકમાત્ર ક્રમિત જોડી $(1, 1)$ છે.

$2^x + 3^y = 5^{xy}$ નું સમાધાન કરતી ધન પૂર્ણાંકોની ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $\sqrt{2} \sin^2 x + (3\sqrt{2} + 1) \sin x + 3 > 0$ અને $x^2 - 7x + 10 < 0$ હોય,તો $x$ કયા અંતરાલમાં હશે?

જો $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી રીતે હોય કે $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2=1$,તો $(3a+5b-8c)^2+(-8a+3b+5c)^2+(5a-8b+3c)^2$ ની કિંમત શોધો.

ધન પૂર્ણાંકો $(a, b)$ ની એવી ક્રમિત જોડીઓની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી $\frac{2a-1}{b}$ અને $\frac{2b-1}{a}$ બંને પૂર્ણાંકો હોય?

જો સમીકરણ જેના બીજ $x^4-2ax^3+4bx^2+8ax+16=0$ સમીકરણના બીજ કરતાં $p$ ગણા હોય,તે વ્યસ્ત સમીકરણ (reciprocal equation) હોય,તો $|p|=$ :

જો તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $\left|\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ હોય,તો $k$ એ કયા અંતરાલમાં છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module