$4$ अवयवों वाले समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों की संख्या किसके बराबर है?

संबंध $R = \{(a, b) : \operatorname{gcd}(a, b) = 1, 2a \neq b, a, b \in \mathbb{Z}\}$ है:

एक ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए जो स्वतुल्य (reflexive) और संक्रामक (transitive) है लेकिन सममित (symmetric) नहीं है।

मान लीजिए $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है। मान लीजिए $R_{1}$,$X$ पर एक संबंध है जो $R_{1} = \{(x, y) : x - y, 3 \text{ से विभाज्य है}\}$ द्वारा दिया गया है और $R_{2}$,$X$ पर एक अन्य संबंध है जो $R_{2} = \{(x, y) : \{x, y\} \subset \{1, 4, 7\} \text{ या } \{x, y\} \subset \{2, 5, 8\} \text{ या } \{x, y\} \subset \{3, 6, 9\}\}$ द्वारा दिया गया है। सिद्ध कीजिए कि $R_{1} = R_{2}$ है।

संबंध $R$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर $\{(a, b) : a = 2b\}$ के रूप में परिभाषित है। तो $R^{-1}$ क्या होगा?

माना $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है। माना $R$,$A$ पर एक संबंध है जो $(x, y) \in R$ यदि और केवल यदि $\max\{x, y\} \in \{3, 4\}$ द्वारा परिभाषित है। तो कथनों $(S_1)$: $R$ में अवयवों की संख्या $18$ है,और $(S_2)$: संबंध $R$ सममित है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक,में से: