संबंध R = {(a, b) : operatorname{gcd}(a, b) = | vedclass

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Question

(D) स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $a \in \mathbb{Z}$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए।इसके लिए $\operatorname{gcd}(a, a) = |a| = 1$ और $

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न तो सममित है और न ही संक्रामक

Vedclass · Answer

(D) स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $a \in \mathbb{Z}$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए।इसके लिए $\operatorname{gcd}(a, a) = |a| = 1$ और $2a 
eq a$ होना आवश्यक है। यह सभी $a \in \mathbb{Z}$ के लिए सत्य नहीं है (जैसे,$a=2$),इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए।मान लीजिए $a=2, b=1$ है। $\operatorname{gcd}(2, 1) = 1$ और $2(2) = 4 
eq 1$,इसलिए $(2, 1) \in R$ है।हालाँकि,$(1, 2)$ के लिए,$\operatorname{gcd}(1, 2) = 1$ लेकिन $2(1) = 2 = b$ है। चूँकि शर्त $2a 
eq b$ का उल्लंघन होता है,इसलिए $(1, 2) 
otin R$ है।अतः,$R$ सममित नहीं है।संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए।मान लीजिए $a=14, b=19, c=21$ है।$\operatorname{gcd}(14, 19) = 1$ और $2(14) = 28 
eq 19$,इसलिए $(14, 19) \in R$ है।$\operatorname{gcd}(19, 21) = 1$ और $2(19) = 38 
eq 21$,इसलिए $(19, 21) \in R$ है।हालाँकि,$\operatorname{gcd}(14, 21) = 7 
eq 1$,इसलिए $(14, 21) 
otin R$ है।अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।निष्कर्ष: $R$ न तो सममित है और न ही संक्रामक है।

संबंध $R = \{(a, b) : \operatorname{gcd}(a, b) = 1, 2a \neq b, a, b \in \mathbb{Z}\}$ है:

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