अंतराल [0, pi] में समीकरण (81)^{sin ^{2} x} + | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$.चूंकि $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$,इसलिए $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{1 - \sin ^

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$4$

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(B) दिया गया समीकरण: $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$.चूंकि $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$,इसलिए $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{1 - \sin ^{2} x} = 30$.$(81)^{\sin ^{2} x} + \frac{81}{(81)^{\sin ^{2} x}} = 30$.माना $t = (81)^{\sin ^{2} x}$. तब $t + \frac{81}{t} = 30$,जो $t^{2} - 30t + 81 = 0$ देता है।$(t - 3)(t - 27) = 0$,इसलिए $t = 3$ या $t = 27$.स्थिति $1$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{1} \implies 4 \sin ^{2} x = 1 \implies \sin ^{2} x = \frac{1}{4}$.$[0, \pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -\frac{1}{2}$. चूंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$,इसलिए $\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ हल)।स्थिति $2$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{3} \implies 4 \sin ^{2} x = 3 \implies \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$.$[0, \pi]$ में,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. चूंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ ($2$ हल)।कुल हलों की संख्या = $2 + 2 = 4$.

अंतराल $[0, \pi]$ में समीकरण $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$ के मूलों की संख्या कितनी है?

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