1, 2, 3 અને 4 અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી સાત અંક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે સાત અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે,જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ છે.આપણે સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 1

Vedclass · Accepted Answer

$413$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે સાત અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે,જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ છે.આપણે સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 12$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.ધારો કે $y_i = x_i - 1$,જ્યાં $y_i \in \{0, 1, 2, 3\}$ છે.$x_i = y_i + 1$ મૂકતા,આપણને $(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + \dots + (y_7 + 1) = 12$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7 = 5$ થાય છે.આ સમીકરણના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+7-1}{7-1} = \binom{11}{6} = 462$ છે.જોકે,આપણે $x_i \le 4$ ની શરતનું પાલન કરવું પડે,જેનો અર્થ છે કે $y_i \le 3$.આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીને એવા કિસ્સાઓ બાદ કરીશું જ્યાં ઓછામાં ઓછો એક $y_i \ge 4$ હોય.જો એક $y_i \ge 4$ હોય,તો $y_i = z_i + 4$ લો. તેથી $z_i + 4 + \sum_{j 
eq i} y_j = 5$,એટલે કે $z_i + \sum_{j 
eq i} y_j = 1$.નિશ્ચિત $i$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{1+7-1}{7-1} = \binom{7}{6} = 7$ છે.$i$ માટે $7$ વિકલ્પો હોવાથી,આપણે $7 	imes 7 = 49$ બાદ કરીશું.આમ,કુલ માન્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $462 - 49 = 413$ છે.

$1, 2, 3$ અને $4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી સાત અંકની એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કેટલી છે કે જેના અંકોનો સરવાળો $12$ થાય?

Similar Questions

$1! + 2! + 3! + \dots + 11!$ ને $12$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી છે?

એવા પૂર્ણાંકો $n$ ની સંખ્યા શોધો કે જેમાં $100 \leq n \leq 999$ હોય અને $n$ માં વધુમાં વધુ બે ભિન્ન અંકો હોય:

જો $^n{P_r} = 840$ અને $^n{C_r} = 35$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $0 \leq r \leq n$. જો ${ }^{n+1} C_{r+1} : { }^{n} C_{r} : { }^{n-1} C_{r-1} = 55 : 35 : 21$ હોય,તો $2n + 5r$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module