$1$ से $1000$ तक के पूर्णांकों को लिखते समय अंक $3$ कितनी बार लिखा जाएगा?

यदि ${ }^{1} P_{1}+2 \cdot{ }^{2} P_{2}+3 \cdot{ }^{3} P_{3}+\ldots+15 \cdot{ }^{15} P_{15}={ }^{q} P_{r}-s$,जहाँ $0 \leq s \leq 1$,तो ${ }^{q+s} C_{r-s}$ का मान .... है।

$37! = 2^{\alpha_2} \cdot 3^{\alpha_3} \cdot 5^{\alpha_5} \cdots 37^{\alpha_{37}}$ के अभाज्य गुणनखंडन में,अनुपात $\alpha_3 : \alpha_5$ है:

यदि पाँच अलग-अलग झंडे उपलब्ध हैं,तो एक ऊर्ध्वाधर दंड पर कम से कम $2$ झंडों को क्रम में (एक के नीचे एक) व्यवस्थित करके कितने विभिन्न संकेत उत्पन्न किए जा सकते हैं?

मान लीजिए $A$ एक समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं। $A$ का एक उपसमुच्चय $P$ चुना जाता है, और $P$ के अवयवों को प्रतिस्थापित करके समुच्चय $A$ को पुनर्गठित किया जाता है। $A$ का एक उपसमुच्चय $Q$ फिर से चुना जाता है। $P$ और $Q$ को चुनने के तरीकों की संख्या ताकि $Q$ में $P$ से केवल एक अवयव अधिक हो, है

एक पैक में $n$ कार्ड हैं जिन पर $1$ से $n$ तक की संख्याएँ अंकित हैं। पैक से दो क्रमिक संख्या वाले कार्ड हटा दिए जाते हैं और शेष कार्डों पर संख्याओं का योग $1224$ है। यदि हटाए गए कार्डों में छोटी संख्या $k$ है,तो $k - 20 =$