यदि पाँच अलग-अलग झंडे उपलब्ध हैं,तो एक ऊर्ध्वाधर दंड पर कम से कम $2$ झंडों को क्रम में (एक के नीचे एक) व्यवस्थित करके कितने विभिन्न संकेत उत्पन्न किए जा सकते हैं?

एक हाई स्कूल में,$6$ लड़कों $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ और $5$ लड़कियों $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ के समूह से एक समिति बनाई जानी है।
$(i)$ मान लीजिए $\alpha_1$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिसमें ठीक $3$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हों।
$(ii)$ मान लीजिए $\alpha_2$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में कम से कम $2$ सदस्य हों,और लड़कों और लड़कियों की संख्या समान हो।
$(iii)$ मान लीजिए $\alpha_3$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिनमें से कम से कम $2$ लड़कियाँ हों।
$(iv)$ मान लीजिए $\alpha_4$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $4$ सदस्य हों,जिसमें कम से कम $2$ लड़कियाँ हों और $M_1$ तथा $G_1$ दोनों एक साथ समिति में $NOT$ हों।

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ का मान	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ का मान	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ का मान	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ का मान	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

सही विकल्प है:

$(2n + 1) (2n + 3) (2n + 5) \dots (4n - 1)$ किसके बराबर है?

सभी $n \in N$ के लिए,$(n+24)(n+25)(n+26)(n+27)$ का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य है?

तीन अंकों की संख्या $\overline{abc}$ की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $b$ और $c$ का समांतर माध्य उनके गुणोत्तर माध्य के वर्ग के बराबर हो।

$0, 1, 2, 5, 9$ अंकों का उपयोग करके $5000$ से बड़ी और $9000$ से छोटी ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो $3$ से विभाज्य हों, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?