$\theta \in (0, \pi)$ માટે એવા $\theta$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + 3y + 7z = 0$,$-x + 4y + 7z = 0$,અને $(\sin 3\theta)x + (\cos 2\theta)y + 2z = 0$ નો ઉકેલ અશૂન્ય (non-trivial) હોય.

જો $(2, 6)$,$(5, 4)$ અને $(k, 4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $35$ ચોરસ એકમ હોય,તો $k = \text{ . . . . . . }$.

$3$ ક્રમના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માં,$a_{ii}$ એ સમીકરણ $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ ના બીજનો સરવાળો છે; $a_{i, i+1}$ એ બીજનો ગુણાકાર છે,$a_{i, i-1}$ બધા એકમ $(1)$ છે અને બાકીના ઘટકો શૂન્ય છે. તો $\det(A)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $A = \begin{bmatrix} 5x & 10 \\ 8 & 7 \end{bmatrix}$ અને $|A| = 25$ હોય,તો $x = $ . . . . . . .

સાબિત કરો કે નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$ એ $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે.

ધારો કે $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$(1+\cos^2 \theta) x + \sin^2 \theta y + 4 \sin 3\theta z = 0$
$\cos^2 \theta x + (1+\sin^2 \theta) y + 4 \sin 3\theta z = 0$
$\cos^2 \theta x + \sin^2 \theta y + (1+4 \sin 3\theta) z = 0$
ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $\theta$ ની કિંમત શોધો.