સંકલન frac{48}{pi^{4}} int_{0}^{pi} left(frac | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} x^{2} \left(\frac{3 \pi}{2} - x\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} x^{2} \left(\frac{3 \pi}{2} - xight) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} (\pi-x)^{2} \left(\frac{3 \pi}{2} - (\pi-x)ight) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$$I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} (\pi-x)^{2} \left(\frac{\pi}{2} + xight) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} [x^{2}(\frac{3\pi}{2}-x) + (\pi-x)^{2}(\frac{\pi}{2}+x)] dx$.કૌંસની અંદરના પદનું સાદુંરૂપ આપતા:$x^{2}(\frac{3\pi}{2}-x) + (\pi^{2}-2\pi x+x^{2})(\frac{\pi}{2}+x) = \frac{3\pi x^{2}}{2} - x^{3} + \frac{\pi^{3}}{2} + \pi^{2}x - \pi^{2}x - 2\pi x^{2} + \frac{x^{2}\pi}{2} + x^{3} = \frac{\pi^{3}}{2}$.આમ,$2I = \frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} \cdot \frac{\pi^{3}}{2} dx = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$.ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$.$2I = \frac{24}{\pi} \int_{1}^{-1} \frac{-dt}{1+t^{2}} = \frac{24}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1+t^{2}} = \frac{24}{\pi} [	an^{-1} t]_{-1}^{1} = \frac{24}{\pi} (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{24}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 12$.તેથી,$I = 6$.

સંકલન $\frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \left(\frac{3 \pi x^{2}}{2} - x^{3}\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

જો $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$ હોય,તો $\frac{1}{I_2 + I_4} + \frac{1}{I_3 + I_5} + \frac{1}{I_4 + I_6} = $

$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x=$

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\tan ^{2020}(x)} d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module