પરવલય y^2=4x+1 એ તકતી x^2+y^2 leq 1 ને A_1 અન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પરવલય $y^2=4x+1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=1$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y^2=4x+1$ ને $x^2+y^2=1$ માં મૂકતા:$x^2 + (4x+1) = 1 \Rightarrow x^2 + 4x =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પરવલય $y^2=4x+1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=1$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y^2=4x+1$ ને $x^2+y^2=1$ માં મૂકતા:$x^2 + (4x+1) = 1 \Rightarrow x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0$.પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -1/4$ પર હોવાથી,છેદબિંદુ $x=0$ (જ્યાં $y = \pm 1$) મળે છે.છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ નીચે મુજબ છે:$A_1 = 2 \left( \int_{-1/4}^{0} \sqrt{4x+1} \, dx + \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx \right)$સંકલન ગણતા:$2 \int_{-1/4}^{0} (4x+1)^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} (4x+1)^{3/2} \right]_{-1/4}^{0} = \frac{1}{3} [1 - 0] = \frac{1}{3}$.$2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = 2 \left[ 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{2}$.તેથી,$A_1 = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}$.વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $\pi$ છે. તેથી,$A_2 = \pi - A_1 = \pi - (\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.અંતે,$|A_1 - A_2| = |(\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3})| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.

પરવલય $y^2=4x+1$ એ તકતી $x^2+y^2 \leq 1$ ને $A_1$ અને $A_2$ ક્ષેત્રફળવાળા બે પ્રદેશોમાં વિભાજિત કરે છે. તો,$|A_1-A_2|$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $A$ એ $\{(x, y): y \geq x^2, y \geq(1-x)^2, y \leq 2x(1-x)\}$ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે. તો $540A$ ની કિંમત શોધો.

સમતલમાં વક્રો $y^2=4x$ અને $x^2=4y$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

પરવલય $y=x^{2}-4x+5$ અને સીધી રેખા $y=x+1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

રેખા $y=x$ અને વક્ર $y=x^3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

$y=x+1$, $y=\cos x$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module