परवलय y^2=4x+1 डिस्क x^2+y^2 leq 1 को A_1 और | vedclass

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Question

(B) दिया गया परवलय $y^2=4x+1$ और वृत्त $x^2+y^2=1$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^2=4x+1$ को $x^2+y^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x^2 + (4

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$\frac{2}{3}$

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(B) दिया गया परवलय $y^2=4x+1$ और वृत्त $x^2+y^2=1$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^2=4x+1$ को $x^2+y^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x^2 + (4x+1) = 1 \Rightarrow x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0$.चूंकि परवलय का शीर्ष $x = -1/4$ पर है,प्रतिच्छेदन $x=0$ (जहाँ $y = \pm 1$) पर होता है।छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_1$ इस प्रकार है:$A_1 = 2 \left( \int_{-1/4}^{0} \sqrt{4x+1} \, dx + \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx \right)$समाकलन की गणना करने पर:$2 \int_{-1/4}^{0} (4x+1)^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} (4x+1)^{3/2} \right]_{-1/4}^{0} = \frac{1}{3} [1 - 0] = \frac{1}{3}$.$2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = 2 \left[ 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{2}$.अतः,$A_1 = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}$.वृत्त का कुल क्षेत्रफल $\pi$ है। इसलिए,$A_2 = \pi - A_1 = \pi - (\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.अंत में,$|A_1 - A_2| = |(\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3})| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.

परवलय $y^2=4x+1$ डिस्क $x^2+y^2 \leq 1$ को $A_1$ और $A_2$ क्षेत्रफल वाले दो क्षेत्रों में विभाजित करता है। तब,$|A_1-A_2|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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