વિકલ સમીકરણ x y frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2 નો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ છે.$xy$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x} \dots(i)$આ એ

Vedclass · Accepted Answer

$x^2+y^2 = x^4$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ છે.$xy$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x} \dots(i)$આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. $y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots(ii)$$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v$.બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v = \frac{1+v^2}{v}$.ચલ અલગ કરતા,$\frac{v}{1+v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|x| + C$.$2$ વડે ગુણતા,$\ln(1+v^2) = 2\ln|x| + 2C = \ln(x^2) + K$.તેથી,$1+v^2 = c x^2$.$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા,$1 + \frac{y^2}{x^2} = c x^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = c x^4$ થાય છે.$y(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$1^2 + 0^2 = c(1)^4$,તેથી $c = 1$.આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x^2 + y^2 = x^4$ છે.

વિકલ સમીકરણ $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ,જ્યારે $y(1) = 0$ હોય,ત્યારે શું થાય?

Similar Questions

નીચેનામાંથી કયું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે?

જો $x \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$, $x > 0$ અને $y(1) = \frac{\pi}{2}$ હોય, તો $\cos \left(\frac{y}{x}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \cdot \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \cdot \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module