बिंदु (1,3) और (5,1) एक आयत के दो विपरीत शीर् | vedclass

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Question

(A) माना विपरीत शीर्ष $A(1,3)$ और $C(5,1)$ हैं। $AC$ का मध्यबिंदु $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ है।चूँकि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभा

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$(4,4), (2,0)$

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(A) माना विपरीत शीर्ष $A(1,3)$ और $C(5,1)$ हैं। $AC$ का मध्यबिंदु $(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3,2)$ है।चूँकि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,दूसरे विकर्ण $BD$ का मध्यबिंदु भी $(3,2)$ होगा।माना शीर्ष $B$ और $D$ $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं। चूँकि वे $y = 2x + c$ पर स्थित हैं,$y_1 = 2x_1 + c$ और $y_2 = 2x_2 + c$ होगा।मध्यबिंदु $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (3,2)$ है,अतः $x_1+x_2 = 6$ और $y_1+y_2 = 4$ है।$y_1, y_2$ का मान रखने पर: $(2x_1+c) + (2x_2+c) = 4 \implies 2(x_1+x_2) + 2c = 4 \implies 12 + 2c = 4 \implies c = -4$.अतः रेखा $y = 2x - 4$ है।साथ ही,सदिश $\vec{AB} = (x_1-1, y_1-3)$ को $\vec{BC} = (5-x_1, 1-y_1)$ के लंबवत होना चाहिए।डॉट प्रोडक्ट का उपयोग करने पर: $(x_1-1)(5-x_1) + (2x_1-7)(5-2x_1) = 0$.सरल करने पर $x_1^2 - 6x_1 + 8 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $x_1 = 4$ या $x_1 = 2$ हैं।अतः शीर्ष $(4,4)$ और $(2,0)$ हैं।

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