एक निश्चित प्रकार के घटक के परीक्षण में जीवित रहने की प्रायिकता $\frac{2}{3}$ है। $4$ घटकों में से अधिकतम $2$ घटकों के जीवित रहने की प्रायिकता क्या है?

एक परीक्षा में,$10$ सही-गलत प्रकार के प्रश्न हैं। $10$ में से,एक छात्र $4$ प्रश्नों के उत्तर $\frac{3}{4}$ प्रायिकता के साथ और शेष $6$ प्रश्नों के उत्तर $\frac{1}{4}$ प्रायिकता के साथ सही अनुमानित कर सकता है। यदि छात्र द्वारा $10$ में से ठीक $8$ प्रश्नों के उत्तर सही अनुमानित करने की प्रायिकता $\frac{27 k}{4^{10}}$ है,तो $k$ का मान है

$n=4$ वाले द्विपद वितरण में,यदि $2 P(X=3)=3 P(X=2)$ है,तो प्रसरण ज्ञात कीजिए।

एक थैली में अलग-अलग रंगों की छह गेंदें हैं। दो गेंदों को प्रतिस्थापन के साथ (with replacement) क्रमिक रूप से निकाला जाता है। दोनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $p$ है। इसके बाद,चार गेंदों को प्रतिस्थापन के साथ क्रमिक रूप से निकाला जाता है और ठीक तीन गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $q$ है। यदि $p : q = m : n$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य (coprime) हैं,तो $m + n$ का मान $..........$ है।

प्रत्येक परिवार में चार बच्चे वाले $800$ परिवार हैं। यह मानते हुए कि प्रत्येक बच्चे के लड़का या लड़की होने की संभावना समान है,दोनों लिंगों के बच्चे होने वाले परिवारों की अपेक्षित संख्या क्या है?

$n$ और $p$ प्राचलों वाले द्विपद बंटन के प्रसरण का अधिकतम मान क्या है?