इकाई (unity) के किन्हीं दो दसवें मूलों का गुण | vedclass

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Question

(A) इकाई के $n$-वें मूल $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, n-1$ है।$n=10$ के लिए,मूल $\omega^k = e^{i \frac{2k\p

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हमेशा इकाई के दसवें मूलों में से एक

Vedclass · Answer

(A) इकाई के $n$-वें मूल $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, n-1$ है।$n=10$ के लिए,मूल $\omega^k = e^{i \frac{2k\pi}{10}}$ हैं,जहाँ $k \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।मान लीजिए $z_1 = \omega^r$ और $z_2 = \omega^s$ दो ऐसे मूल हैं,जहाँ $r, s \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।उनका गुणनफल $z_1 z_2 = \omega^r \cdot \omega^s = \omega^{r+s} = e^{i \frac{2(r+s)\pi}{10}}$ है।चूँकि $\omega^{10} = 1$,इसलिए $\omega^{r+s} = \omega^{(r+s) \pmod{10}}$ होता है।चूँकि $(r+s) \pmod{10}$ हमेशा $\{0, 1, \dots, 9\}$ समुच्चय का एक पूर्णांक है,इसलिए गुणनफल $z_1 z_2$ हमेशा इकाई के दसवें मूलों में से एक होता है।

इकाई (unity) के किन्हीं दो दसवें मूलों का गुणनफल क्या होता है?

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