फलन f(x) = log_{sqrt{5}}(3 + cos(frac{3pi}{4} | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि लघुगणक का तर्क $g(x) = 3 + \cos(\frac{3\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)$ ह

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$[0, 2]$

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(D) मान लीजिए कि लघुगणक का तर्क $g(x) = 3 + \cos(\frac{3\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)$ है।योग से गुणनफल के सूत्रों $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ और $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:$g(x) = 3 + [\cos(\frac{3\pi}{4} + x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)] + [\cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x)]$$g(x) = 3 - 2\sin(\frac{3\pi}{4})\sin(x) + 2\cos(\frac{\pi}{4})\cos(x)$चूंकि $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:$g(x) = 3 - 2(\frac{1}{\sqrt{2}})\sin(x) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}})\cos(x) = 3 + \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$.हम जानते हैं कि $-\sqrt{2} \leq \cos x - \sin x \leq \sqrt{2}$.अतः,$3 + \sqrt{2}(-\sqrt{2}) \leq g(x) \leq 3 + \sqrt{2}(\sqrt{2})$,जो सरल होकर $3 - 2 \leq g(x) \leq 3 + 2$,अर्थात $1 \leq g(x) \leq 5$ हो जाता है।चूंकि $f(x) = \log_{\sqrt{5}}(g(x))$,परिसर $[\log_{\sqrt{5}}(1), \log_{\sqrt{5}}(5)]$ है।चूंकि $\log_{\sqrt{5}}(1) = 0$ और $\log_{\sqrt{5}}(5) = 2$ है,इसलिए परिसर $[0, 2]$ है।

फलन $f(x) = \log_{\sqrt{5}}(3 + \cos(\frac{3\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x))$ का परिसर ज्ञात कीजिए।

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