आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) है

यदि $f(x) = \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2x & 3x^2 \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix}$ है,तो अनुपात $f^{\prime \prime}(x) : f^{\prime}(x) =$

आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & -4 & 2 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) है

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & a & 1 \\ \cos(nx) & \cos(n+1)x & \cos(n+2)x \\ \sin(nx) & \sin(n+1)x & \sin(n+2)x \end{array} \right|$ का मान किससे स्वतंत्र है?

निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?
$1$. यदि $A$ एक $5 \times 5$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है,तो $A$ की कोटि (rank) $5$ से कम है।
$2$. यदि $P$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह है और $Q$ एक शून्येतर पंक्ति आव्यूह है,तो $PQ$ की कोटि $1$ है।
$3$. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}$ की कोटि $2$ है।
$4$. यदि रेखाएं $a_r x + b_r y + c_r = 0$ $(r = 1, 2, 3)$ भिन्न हैं और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ की कोटि $3$ है।

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ है, तो $f^{\prime}(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।