दो समांतर श्रेणियों के प्रथम $n$ पदों के योग का अनुपात $(7n + 1) : (4n + 27)$ है। उनके $m$ वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

(D) माना कि दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं और उनके सार्व अंतर $d_1$ और $d_2$ हैं।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$\frac{S_{n1}}{S_{n2}} = \frac{\frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2} [2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$.
यह सरल होकर $\frac{2a_1 + (n - 1)d_1}{2a_2 + (n - 1)d_2} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$ हो जाता है।
हमें $m$ वें पदों का अनुपात ज्ञात करना है: $\frac{a_m}{a'_m} = \frac{a_1 + (m - 1)d_1}{a_2 + (m - 1)d_2}$.
आवश्यक अनुपात के अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{2a_1 + 2(m - 1)d_1}{2a_2 + 2(m - 1)d_2}$.
दिए गए योग के अनुपात के साथ तुलना करने पर,हम $n - 1 = 2(m - 1)$ रखते हैं,जिससे $n = 2m - 1$ प्राप्त होता है।
$n = 2m - 1$ को $\frac{7n + 1}{4n + 27}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
अनुपात $= \frac{7(2m - 1) + 1}{4(2m - 1) + 27} = \frac{14m - 7 + 1}{8m - 4 + 27} = \frac{14m - 6}{8m + 23}$.
अतः,$m$ वें पदों का अनुपात $(14m - 6) : (8m + 23)$ है।