जब 3^{2003} को 28 से विभाजित किया जाता है,तो | vedclass

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Question

(C) हमें $3^{2003}$ को $28$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है। सबसे पहले,ध्यान दें कि $3^3 = 27 = 28 - 1$ है। हम $3^{2003} = 3^2 \cdot 3^

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$19$

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(C) हमें $3^{2003}$ को $28$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है। सबसे पहले,ध्यान दें कि $3^3 = 27 = 28 - 1$ है। हम $3^{2003} = 3^2 \cdot 3^{2001} = 9 \cdot (3^3)^{667}$ लिख सकते हैं। $3^3 = 28 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $9 \cdot (28 - 1)^{667}$ प्राप्त होता है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(28 - 1)^{667} = \sum_{k=0}^{667} \binom{667}{k} (28)^{667-k} (-1)^k$ है। यह व्यंजक $28n + (-1)^{667} = 28n - 1$ के रूप में है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है। अतः,$3^{2003} = 9(28n - 1) = 28(9n) - 9$ है। चूंकि शेषफल धनात्मक होना चाहिए,हम $-9$ को $28 - 37$ के रूप में लिख सकते हैं या $28(9n - 1) + 19$ के रूप में व्यवस्थित कर सकते हैं। अतः,शेषफल $19$ है।

जब $3^{2003}$ को $28$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

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