सभी $a \in R$ का समुच्चय जिसके लिए समीकरण $x|x-1|+|x+2|+a=0$ का ठीक एक वास्तविक मूल है,वह है:

एक फलन $f : N \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $x \geq 2$ के लिए $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+x f(x)=x(x+1) f(x)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1)=1$ है। तो $\frac{1}{f(2022)}+\frac{1}{f(2028)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f:[-2,2] \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \leq x \leq 0 \text{ के लिए } \\ x-1, & 0 < x \leq 2 \text{ के लिए } \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो समुच्चय $\{x \in [-2,2] : x \leq 0 \text{ और } f(|x|) = x\}$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $R^{+}$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $R$ के उपसमुच्चयों $A$ और $B$ के लिए, $f: A \rightarrow B$ को $f(x) = x^2$ द्वारा परिभाषित करें, जहाँ $x \in A$ है। नीचे दी गई सूचियों का मिलान करें:
| स्तंभ $I$ | स्तंभ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है, यदि | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है, यदि | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है, यदि | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है, यदि | $4$. $A = B = R^{+}$ |

फलन $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$ पर विचार करें। $x$ के उन धनात्मक पूर्णांकों की संख्या क्या है जिनके लिए $f(x)$ एक अभाज्य संख्या है?

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ और $f: A \rightarrow A$ को $f(k) = \begin{cases} k + 1 & \text{यदि } k \text{ विषम है} \\ k & \text{यदि } k \text{ सम है} \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो ऐसे संभावित फलनों $g: A \rightarrow A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $g \circ f = f$ हो ......