k ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ જેના માટે (tan^{-1} x)^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = (	an^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$. ધારો કે $u = 	an^{-1} x$. તો $

Vedclass · Accepted Answer

$[\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = (	an^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $	an^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$. ધારો કે $u = 	an^{-1} x$. તો $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$. કારણ કે $x \in \mathbb{R}$,$u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. હવે,$f(x) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(x) = \frac{3\pi}{2}(u^2 - \frac{\pi}{2}u) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$. કારણ કે $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(u - \frac{\pi}{4})^2$ નો વિસ્તાર $[0, (-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2) = [0, \frac{9\pi^2}{16})$ છે. આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{3\pi}{2}(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{27\pi^3}{32} + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{28\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8})$ છે. આપેલ છે કે $f(x) = k \pi^3$,તેથી $k \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$.

$k$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ જેના માટે $(\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3 = k \pi^3$,$x \in \mathbb{R}$,એ અંતરાલ છે

Similar Questions

જો $\cos^{-1} x = \alpha$ $(0 < x < 1)$ અને $\sin^{-1} (2 x \sqrt{1 - x^2}) + \sec^{-1} (\frac{1}{2 x^2 - 1}) = \frac{2 \pi}{3}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો ${\tan ^{ - 1}}x + 2{\cot ^{ - 1}}x = \frac{{2\pi }}{3}$ હોય,તો $x =$ શોધો.

કિંમત શોધો: ${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}} \right]$

$\sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

સાબિત કરો કે $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$,જ્યાં $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module