रेखाओं $\overline{r} = (4\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$ और $\overline{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

एक आयताकार समानांतर षट्फलक का एक शीर्ष मूल बिंदु $O$ पर है और $x, y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश इसकी किनारों की लंबाई क्रमशः $3, 4$ और $5$ इकाई है। मान लीजिए $P$ शीर्ष $(3, 4, 5)$ है। तब विकर्ण $OP$ और $z$-अक्ष के समानांतर एक किनारे,जो $O$ या $P$ से होकर नहीं गुजरता है,के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ को दर्शाती हैं। यदि $L_3$ एक ऐसी रेखा है जो $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है और दोनों को काटती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $L_3$ का वर्णन करता है?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$

रेखाओं $x-3y-4=0, 4y-z+5=0$ और $x+3y-11=0, 2y-z+6=0$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

दो रेखाओं $\frac{x-2}{2} = \frac{2-y}{3} = \frac{z-1}{2}$ और $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{-3}$ के बीच का कोण . . . . . . है।

माना $P$ बिंदु $A(1, 2, 2)$ से रेखा $L: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2}$ पर डाले गए लंब का पाद है। माना रेखा $\overrightarrow{r} = (-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$,$\lambda \in R$,रेखा $L$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। तो $2(PQ)^2$ का मान ज्ञात कीजिए: