वक्र y = x^3 - 10x^2 + 31x - 30 पर बिंदु P पर | vedclass

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Question

(C) दिया गया वक्र $y = x^3 - 10x^2 + 31x - 30$ है। सबसे पहले, अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 20x + 31$. अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\frac{dy}{

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$\frac{11}{7}$

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(C) दिया गया वक्र $y = x^3 - 10x^2 + 31x - 30$ है। सबसे पहले, अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 20x + 31$. अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ द्वारा दी जाती है। इसे $-\frac{1}{14}$ के बराबर रखने पर: $-\frac{1}{3x^2 - 20x + 31} = -\frac{1}{14} \implies 3x^2 - 20x + 31 = 14$. $3x^2 - 20x + 17 = 0$. द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3x - 17)(x - 1) = 0$. इससे $x = 1$ या $x = \frac{17}{3}$ प्राप्त होता है। चूंकि प्रश्न में $x$ एक पूर्णांक है, हम $x = 1$ लेते हैं। $x = 1$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = (1)^3 - 10(1)^2 + 31(1) - 30 = 1 - 10 + 31 - 30 = -8$. अतः, बिंदु $P$ $(1, -8)$ है। $x = 1$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 - 20(1) + 31 = 14$ है। स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-8) = 14(x - 1) \implies y + 8 = 14x - 14 \implies y = 14x - 22$ है। $x$-अंतःखंड के लिए, $y = 0$ रखें: $0 = 14x - 22 \implies 14x = 22 \implies x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7}$.

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