अवकल समीकरण x frac{d^2y}{dx^2} = 1 का हल ज्ञा | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ है। $x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष समाकल

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$y = x \log x - x + 2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ है। $x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \int \frac{1}{x} dx = \log x + c_1$ प्राप्त होता है। दिया गया है कि $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx} = 0$,इसलिए $0 = \log(1) + c_1$,जिसका अर्थ है कि $c_1 = 0$ है। अतः,$\frac{dy}{dx} = \log x$। पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = \int \log x dx = x \log x - x + c_2$ प्राप्त होता है। दिया गया है कि $x = 1$ पर $y = 1$,इसलिए $1 = 1 \log(1) - 1 + c_2$,जिसका अर्थ है कि $1 = 0 - 1 + c_2$,अतः $c_2 = 2$ है। $c_1$ और $c_2$ के मान रखने पर,अभीष्ट हल $y = x \log x - x + 2$ है।

अवकल समीकरण $x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x = 1$ होने पर $y = 1$ और $\frac{dy}{dx} = 0$ है।

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सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$,जहाँ $x \in (-a, a)$,अवकल समीकरण $x + y \frac{dy}{dx} = 0$ (जहाँ $y \neq 0$) का हल है।

अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = k$ का हल . . . . . . दर्शाता है।

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