વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{x^2}$ નો ઉકેલ શું છે?

$(0, \pi)$ માં સતત વિકલનીય વિધેય $\phi (x)$ જે $y' = 1 + y^2$ અને $y(0) = 0 = y(\pi)$ નું પાલન કરે છે,તે છે

વક્ર કે જે વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2) dx - xy\, dy = 0$ નું સમાધાન કરે છે અને બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેના નાભિઓ (foci) કયા છે?

ધારો કે $y$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ નો ઉકેલ છે જે $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરે છે. તો, $y$ નીચેનામાંથી કોનું સમાધાન કરે છે?

ધારો કે $b$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=1$. જો $f$ નું વિકલિત $f^{\prime}$ એ સમીકરણ $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ નું પાલન કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $b>0$ હોય,તો $f$ એ વધતું વિધેય છે
$(B)$ જો $b < 0$ હોય,તો $f$ એ ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ દરેક $x \in R$ માટે
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ દરેક $x \in R$ માટે

વક્ર જે વિકલ સમીકરણ $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$ નું સમાધાન કરે છે તે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને વક્ર $x^2 + 3y^2 = 3$ ને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો $\frac{2\theta}{\pi} =$